TRIANGOLI PIANI - 1

TRIANGOLI PIANI

Se disegni un punto su un foglio, non ci fai granché: in fondo i punti sono tutti uguali. Se ne disegni due, ottieni un segmento. Se disegni tre punti, hai un triangolo: 

una figura geometrica così semplice e così incredibilmente ricca di proprietà e stranezze, che gli uomini studiano ormai da tempo immemorabile.

"La geometria mette in evidenza l'intelletto e perfeziona la mente di una persona. Tutte le sue dimostrazioni sono veramente chiare e coordinate. È quasi impossibile per gli errori entrare nel ragionamento geometrico, perché è ben sistemato e metodico. Così, la mente che si applica costantemente alla geometria non è solita a cadere in errore. In questa strada conveniente, chi conosce la geometria acquista l'intelligenza."

                                                      Muqaddimah (1377)

                                                  Khaldun Ibn (1332-1406)

Per saperne di più su IBN KHALDUN

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Classificazione di un triangolo.

In geometria si dice triangolo (dal latino triangulum, composto da tres, tre e angulus, angolo) figura piana racchiusa da una spezzata chiusa o poligonale di tre lati i quali a due a due formano complessivamente tre angoli, donde il nome. Esso può essere:

rispetto ai lati

equilatero          se a tre lati uguali

isoscele              se ha due lati uguali

scaleno              se a tre lati disuguali

rispetto agli angoli

rettangolo         se ha 1 angolo retto     =  90°

ottusangolo       se ha 1 angolo ottuso   >  90°

acutangolo        se ha 3 angoli acuti       > 90°

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Alcune proprietà del triangolo.

Equivalenza

In triangoli equivalenti (aventi la stessa superficie areale) le altezze  sono inversamente proporzionali alle basi ( viceversa) e che un triangolo dato può essere trasformato in un triangolo a esso equivalente di assegnata base (o altezza).

1° criterio di similitudine

Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente uguali.

2° criterio di similitudine

Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso fra lati proporzionali.

3° criterio di similitudine

Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente proporzionali.

Le basi di due triangoli simili stanno fra loro come le altezze:

                        base: base'= altezza: altezza'

I perimetri di due triangoli simili stanno fra loro come i quadrati

di due lati corrispondenti: 

                     perimetro: perimetro'=  lato: lato'

Le aree di due triangoli simili stanno fra loro come quadrati di due lati corrispondenti: 

                            area: area' = lato2: lato'2

1° criterio di uguaglianza

Due triangoli che abbiano uguali due lati e l'angolo fra essi compreso sono uguali.

2° criterio di uguaglianza 

Due triangoli che abbiano uguali un lato e i due angoli a esso adiacenti sono uguali.

3° criterio di uguaglianza

Due triangoli che abbiano uguali i tre lati sono uguali.

a) il rettangolo di due lati di un triangolo è equivalente al rettangolo dell'altezza relativa tal terzo lato e del diametro del circolo circoscritto; 

b) il quadrato di una bisettrice aumentato del rettangolo delle parti in cui divide il lato opposto è equivalente al rettangolo dei lati che la comprendono. 

c) tutti triangoli sono inscrivibili e circoscrivibili. 

Note:

EQUIVALENTE: 

- di figure piane o solide che hanno la stessa area o lo stesso volume.

SIMILITUDINE

- proprietà di due figure geometriche che hanno gli angoli rispettivamente uguali e, di conseguenza, i lati corrispondenti in proporzione.

UGUAGLIANZA

- due figure piane sono uguali se, sovrapponendole con un movimento rigido, tutti i loro punti coincidono (anche se in geometria viene in realtà usato il termine congruenza)

- prendendo poi come figure dei poligoni, questi per essere uguali devono avere tutti i lati e tutti gli angoli rispettivamente uguali

- a questo proposito si considerano poi i triangoli, per i quali valgono i 3 criteri di uguaglianza (o congruenza) :
Primo criterio : due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due lati e l'angolo tra essi compreso;
Secondo criterio : due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due angoli e il lato tra essi compreso (esiste anche il secondo criterio generalizzato, secondo il quale due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due angoli ed un lato qualunque).
Terzo criterio : due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali i tre lati. 

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Notizie tratte, quase tutte, da:

VECCHI APPUNTI

Ho ritrovato appunti del 15 novembre 2002 per il calcolo della somma dei numeri interi compresi tra 1 e un numero qualsiasi (b) e tra (a) e (b) dove (a) è diverso da 1.

Giorno palindromo

11 novembre 2011 - È il cosiddetto giorno "palindromo": la data, scritta come 11/11/11 può essere letta indifferentemente da sinistra verso destra, o da destra verso sinistra.

Su Wikipedia: palindromo

Non solo numeri: frasi palindrome

CALCOLARE LE RADICI QUADRATE A MANO

Quando facevo le medie (tardo Mesozoico, insomma...) a scuola ci insegnavano ad estrarre una radice quadrata con carta e penna. La cosa era assolutamente inutile, visto che stavano già comparendo le prime calcolatrici tascabili, e alla peggio uno poteva trovare ancora un regolo calcolatore: diciamo caritatevolmente che veniva fatto per saggiare l'attenzione dello scolaro. Ad ogni modo sono passati più di trent'anni, e come tutte le cose del passato anche il calcolo manuale di una radice quadrata è diventato una specie di piacevole ricordo, "chissà come diavolo si faceva". Per i nostalgici (e soprattutto per StorieDiMe che è stata l'ultima in ordine di tempo a chiedermelo :-) ) ecco qua il metodo che era insegnato a me, recuperato dagli anfratti della mia memoria. Nel seguito troverete i vari passaggi per scoprire qual è la radice quadrata di 522729.

Passo 1: si scrive il numero separandolo con dei puntini ogni due cifre partendo da destra.
  _________

√ 52.27.29 |

           |---------

           |

Passo 2: si calcola la radice quadrata del gruppo di cifre (una o due) più a sinistra (in questo caso, 52). Si calcola il quadrato di questo numero (7), e lo si toglie dal gruppo di cifre in questione. Si abbassa il successivo gruppo di due cifre.
  ________

√ 52.27.29 | 7

  49       |---------

  --       |
   3 27

Passo 3: (qui arriva il bello). Si raddoppia il numero finora calcolato come radice quadrata (in questo caso, 7) e lo si scrive sotto. Adesso dovremo trovare qual è il più grande x che permetta di avere un prodotto inferiore al resto che abbiamo a sinistra (in questo caso, 327).
  ________

√ 52.27.29 | 7

  49       |---------

  -----    | 14x * x = ???
   3 27

Passo 4: Il trucco è partire dall'alto e scendere in basso; per non partire da 9, si può anche fare ad occhio la divisione eliminando le cifre più a destra dai due numeri. In questo caso, invece che 327/14x facciamo 32/14 che dà 2; per sicurezza, partiamo da 3 e verifichiamo che il risultato "sfora". Scendiamo a 2, eseguiamo la sottrazione, e facciamo scendere un ulteriore gruppo di due cifre.
  ________

√ 52.27.29 | 72

  49       |---------

  -----    | 143 * 3 = 429
   3 27    | 142 * 2 = 284
   2 84
   ----
     43 29

Passo 5: Riprendiamo dal passo 3. In questo caso non è però necessario raddoppiare il risultato parziale (72), ma si può semplicemente sommare i due numeri moltiplicati nel passaggio precedente (142 e 2), visto che il risultato che si ottiene è lo stesso.
  ________

√ 52.27.29 | 72

  49       |---------

  -----    | 143 * 3 = 429
   3 27    | 142 * 2 = 284
   2 84    |---------
   ----    | 144x * x = ????
     43 29 |

Passo 6: Riprendiamo il passo 4. Facendo 43/14, la prima ipotesi è 3, che ci va perfettamente bene (beh, l'esempio l'ho preparato apposta!)
  ________

√ 52.27.29 | 723

  49       |---------

  -----    | 143 * 3 = 429
   3 27    | 142 * 2 = 284
   2 84    |---------
   ----    | 1443 * 3 = 4329
     43 29 |
     43 29
     -----
         0

Nel caso il numero di cui stiamo calcolando la radice non fosse un quadrato perfetto, non ci sono problemi: come in una divisione, si continua ad aggiungere degli zeri, naturalmente in coppia.

Tratto da:

http://xmau.com/mate/art/radicequadrata.html

Perchè pubblico questo post nell'era dei computer ?

Per ricordare e allenare il cervello.

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NUMERI

Come calcolare velocemente la somma dei numeri interi compresi fra 1 e un dato numero ?

Applicando la seguente formula:

((a+b)*b)/2

Verifica pratica: somma dei numeri compresi fra 1 e 5

1+2+3+4+5= 15

Con la formula:

((1+5)*5)/2

(6*5)/2

30/2

15

E per calcolare la somma dei numeri interi compresi fra due numeri dove a è diverso da 1?

Si applica questa formula:

((a+b)*b)/2 – ((a+c)*c)/2

dove:

a = 1

b = ultimo numero

c = numero che precede il numero di partenza della somma.

Verifica pratica: somma dei numeri compresi fra 3 e 6

3+4+5+6=18

Con la formula:

((1+6)*6)/2 – ((1+2)*2)/2

(7*6)/2  - (3*2)/2

42/2  - 6/2

21 -  3

18

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PITAGORA

Pitagora
Pitagora - Wikipedia
Teorema di Pitagora - Wikipedia
 

Pitagora nacque a Samo nel 572 a.C. Il padre fu un bravo tagliatore di pietre preziose, sufficientemente agiato per potere pagare al figlio, ragazzo intelligente e studioso, eccellenti maestri, i migliori cervelli del tempo: il musicista e poeta Ermodame, suo concittadino, gli scienziati Talete ed Anassimandro, entrambi di Mileto, il filosofo moralista Biante di Priene e, soprattutto, Ferecide di Siro, mitografo e naturalista, un autodidatta formatosi (pare) su testi fenici, con il quale il nostro si accompagnò per sei anni, viaggiando da un'isola all'altra dell'Egeo e visitando i grandi centri commerciali dell'Asia Minore.

Nel 548 a.C., dopo un' ultima visita a Delo, il suo maestro ed amico morì. Pitagora riprese a viaggiare da solo, ininterrottamente per 12 anni, come rappresentante di commercio del padre.In Egitto, offrendo belle coppe cesellate, si accattivò il favore dei sacerdoti egiziani, i quali lo accolsero come uno di loro e gli aprirono i misteri della loro scienza; fu così che il giovane imparò l'egiziano, la geometria, i pesi, le misure, il calcolo con l'abaco, le qualità dei minerali. Si recò, poi, in Fenicia ed in Siria, e nel 539 a.C. lo troviamo a Babilonia , dove i sacerdoti caldei, anch'essi catturati dalla generosità dello studioso samio, gli insegnarono l'astronomia e la matematica.  

Tre anni dopo fu a Creta, dove prese moglie e conobbe Epimenide, una sorta di mago, purificatore ed indovino, che si arrogava il privilegio di un rapporto diretto ed esclusivo con la divinità, e si vantava di avere vissuto molte vite. Ancora un breve soggiorno a Sparta, per studiarvi le leggi ed il calendario; e nel 538 a.C., dopo 18 anni di assenza, eccolo di nuovo a Samo.

Forte delle conoscenze accumulate, Pitagora aprì nell'isola una scuola, che funzionava anche come centro di consulenza scientifica. Con i suoi concittadini, però, i rapporti furono tutt'altro che idilliaci. L'ambizione e la superiorità intellettuale del giovane scienziato non piacevano a nessuno: né ai ricchi arroganti aristocratici, i quali lo disprezzavano per le sue origini borghesi, né agli invidiosi artigiani, i quali lo ignoravano, né allo spregiudicato Policrate, il quale, divenuto il padrone dell'isola, lo snobbava e non gli affidava nemmeno uno dei progetti delle tante opere pubbliche che stavano sorgendo a Samo. L'isola natale cominciava ad andargli ormai troppo stretta: di qui la decisione di trasferirsi a Crotone, da lui conosciuta attraverso la descrizione che gli aveva fornito l'immigrato Democede, diventato suo amico.



        

LEONARDO FIBONACCI

http://it.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci
http://it.wikipedia.org/wiki/Successione_di_Fibonacci
http://www.math.it/spirale/fibonacci.htm

Con altri matematici del tempo, contribuì alla rinascita delle scienze esatte dopo la decadenza dell'ultima parte dell'età classica e del primo Medioevo.

Assieme al padre Guglielmo dei Bonacci (Fibonacci sta infatti per filius Bonacci), facoltoso mercante pisano e rappresentante dei mercanti della Repubblica di Pisa (publicus scriba pro pisanis mercatoribus) nella regione di Bugia in Cabilia (Algeria), passò alcuni anni in quella città, dove studiò i procedimenti aritmetici che studiosi musulmani stavano diffondendo nelle varie regioni del mondo islamico. Qui ebbe anche precoci contatti con il mondo dei mercanti e apprese tecniche matematiche sconosciute in Occidente. Alcuni di tali procedimenti erano stati introdotti per la prima volta dagli Indiani, portatori di una cultura molto diversa da quella mediterranea. Proprio per perfezionare queste conoscenze, Fibonacci viaggiò molto, arrivando fino a Costantinopoli, alternando il commercio con gli studi matematici.

Molto dovette alle opere di Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, Abu Kamil e ai maestri arabi, senza però essere mero diffusore della loro opera. Ritornato in Italia, la sua notorietà giunse anche alla corte dell'imperatore Federico II, soprattutto dopo che risolse alcuni problemi del matematico di corte. Per questo motivo gli fu assegnato un vitalizio che gli permise di dedicarsi completamente ai suoi studi.

A partire dal 1228 non si hanno più notizie del matematico, tranne per quanto concerne il Decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di "Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo". Fibonacci morì qualche anno dopo presumibilmente a Pisa.

A lui si devono il Liber abaci e la Practica geometriae (con l'applicazione dell'algebra alla soluzione di problemi geometrici); il Liber quadratorum; l'Epistola ad magistrum Theodorum e il Flos super solutionibus quorundam questionum ad numerosum vel ad geometriam vel ad utrumque pertinentium dedicata a Raniero Capacci, cardinale diacono.

I suoi studi furono così importanti che tutt'oggi esiste una pubblicazione periodica dedicata interamente alla sequenza aritmetica da lui elaborata, il "Fibonacci Quarterly". Al matematico è stato anche dedicato un asteroide, 6765 Fibonacci.