TRIANGOLI PIANI - 1

TRIANGOLI PIANI

Se disegni un punto su un foglio, non ci fai granché: in fondo i punti sono tutti uguali. Se ne disegni due, ottieni un segmento. Se disegni tre punti, hai un triangolo: 

una figura geometrica così semplice e così incredibilmente ricca di proprietà e stranezze, che gli uomini studiano ormai da tempo immemorabile.

"La geometria mette in evidenza l'intelletto e perfeziona la mente di una persona. Tutte le sue dimostrazioni sono veramente chiare e coordinate. È quasi impossibile per gli errori entrare nel ragionamento geometrico, perché è ben sistemato e metodico. Così, la mente che si applica costantemente alla geometria non è solita a cadere in errore. In questa strada conveniente, chi conosce la geometria acquista l'intelligenza."

                                                      Muqaddimah (1377)

                                                  Khaldun Ibn (1332-1406)

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Classificazione di un triangolo.

In geometria si dice triangolo (dal latino triangulum, composto da tres, tre e angulus, angolo) figura piana racchiusa da una spezzata chiusa o poligonale di tre lati i quali a due a due formano complessivamente tre angoli, donde il nome. Esso può essere:

rispetto ai lati

equilatero          se a tre lati uguali

isoscele              se ha due lati uguali

scaleno              se a tre lati disuguali

rispetto agli angoli

rettangolo         se ha 1 angolo retto     =  90°

ottusangolo       se ha 1 angolo ottuso   >  90°

acutangolo        se ha 3 angoli acuti       > 90°

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Alcune proprietà del triangolo.

Equivalenza

In triangoli equivalenti (aventi la stessa superficie areale) le altezze  sono inversamente proporzionali alle basi ( viceversa) e che un triangolo dato può essere trasformato in un triangolo a esso equivalente di assegnata base (o altezza).

1° criterio di similitudine

Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente uguali.

2° criterio di similitudine

Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso fra lati proporzionali.

3° criterio di similitudine

Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente proporzionali.

Le basi di due triangoli simili stanno fra loro come le altezze:

                        base: base'= altezza: altezza'

I perimetri di due triangoli simili stanno fra loro come i quadrati

di due lati corrispondenti: 

                     perimetro: perimetro'=  lato: lato'

Le aree di due triangoli simili stanno fra loro come quadrati di due lati corrispondenti: 

                            area: area' = lato2: lato'2

1° criterio di uguaglianza

Due triangoli che abbiano uguali due lati e l'angolo fra essi compreso sono uguali.

2° criterio di uguaglianza 

Due triangoli che abbiano uguali un lato e i due angoli a esso adiacenti sono uguali.

3° criterio di uguaglianza

Due triangoli che abbiano uguali i tre lati sono uguali.

a) il rettangolo di due lati di un triangolo è equivalente al rettangolo dell'altezza relativa tal terzo lato e del diametro del circolo circoscritto; 

b) il quadrato di una bisettrice aumentato del rettangolo delle parti in cui divide il lato opposto è equivalente al rettangolo dei lati che la comprendono. 

c) tutti triangoli sono inscrivibili e circoscrivibili. 

Note:

EQUIVALENTE: 

- di figure piane o solide che hanno la stessa area o lo stesso volume.

SIMILITUDINE

- proprietà di due figure geometriche che hanno gli angoli rispettivamente uguali e, di conseguenza, i lati corrispondenti in proporzione.

UGUAGLIANZA

- due figure piane sono uguali se, sovrapponendole con un movimento rigido, tutti i loro punti coincidono (anche se in geometria viene in realtà usato il termine congruenza)

- prendendo poi come figure dei poligoni, questi per essere uguali devono avere tutti i lati e tutti gli angoli rispettivamente uguali

- a questo proposito si considerano poi i triangoli, per i quali valgono i 3 criteri di uguaglianza (o congruenza) :
Primo criterio : due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due lati e l'angolo tra essi compreso;
Secondo criterio : due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due angoli e il lato tra essi compreso (esiste anche il secondo criterio generalizzato, secondo il quale due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali due angoli ed un lato qualunque).
Terzo criterio : due triangoli sono uguali se hanno rispettivamente uguali i tre lati. 

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